вводное слово и член предложения
1. Вводное слово. То же, что «как обычно, как всегда, как заведено». Выделяется знаками препинания, обычно запятыми. Подробно о пунктуации при вводных словах см. в Приложении 2. (Приложение 2)
…Матрена и Колька выгнали в стадо свою Козочку, предварительно окурив ее, по обычаю, духмяным дымом богородицыной травы. Б. Полевой, Золото. «Да что же это ты, варварка, делаешь со мной», - говорил он, целуя, по обычаю, протянутую ручку хозяйки, по-польску, как он выражался. С. Аксаков, Семейная хроника.
2. Член предложения. Слово «обычай» здесь синонимично словам «традиция, установленное правило поведения». При этом сочетание «по обычаю» может разрываться характеризующим прилагательным, например: «по русскому обычаю», «по старинному обычаю», «по древнему обычаю» и т. п. В этом случае выделение оборота «по обычаю» знаками препинания не требуется.
Вдова взяла поданный ей по обычаю веничек, обмела края могильного холмика и потом поклонилась людям поясно, хотя ей это было и нелегко… Е. Евтушенко, Ардабиола. Приступ психопатии у него прошел, он шутил, по древнему русскому обычаю приободрял товарищей своих, тоже желал встречи на фронте, скорой встречи, пока совсем не довели их здесь до смерти. В. Астафьев, Прокляты и убиты.
@ В художественной литературе есть примеры обособления слов «по обычаю» в значении члена предложения: В день свадьбы Левин, по обычаю (на исполнении всех обычаев строго настаивали княгиня и Дарья Александровна), не видал своей невесты и обедал у себя в гостинице со случайно собравшимися к нему тремя холостяками… Л. Толстой, Анна Каренина. Это свидетельствует о нестрогом разграничении двух указанных выше значений. В спорных случаях решение о постановке знаков препинания при словах «по обычаю» остается за автором текста.